Производная

Производная [derivative]. Для функции от одной переменной  f(x) —  производная df/dx — это скорость ее изменения, т.е.

Необходимы различные обобщения этого понятия на более сложные функции. Например, если рассматривается функция многих переменных f (x₁, …, x_n), то оказывается возможным использовать П. по одной из них (принимая остальные за неизменные). Такая П. называется частной и обозначается  df/dx. Любая частная П. есть в свою очередь функция переменных  x₁, …, x_n  —   поэтому можно рассматривать вторые частные П.

 Важное свойство вторых частных П. — их симметричность; если функция f непрерывна, имеет непрерывные первые и вторые частные П., то безразлично, в каком порядке функцию дифференцировать:

Кроме обозначения производной, указанного выше, используется  апостроф ’, например, П.функции  f(x) обозначается  либо  df/dx  , либо  f’(x).

Операция нахождения П. называется дифференцированием функции .Функция, имеющая производную в точке х₀, называется дифференцируемой в этой точке., причем она обязательно непрерывна в этой точке. (См. Непрерывная функция) Функция,  имеющая производную в каждой точке некоторого интервала, называется непрерывно дифференцируемой на этом интервале (промежутке).